LINEAR ALGEBRA / 03
一个数，读懂空间的变化。
行列式告诉你：面积放大了多少，方向是否翻转，空间有没有被压扁。
A2 × 2
修改矩阵，观察计算与几何变化。
det(A)3方向保持
面积缩放 3 倍
行列式的绝对值是缩放倍数，符号表示方向。原始单位正方形的面积是 1。
变换后的 e₁变换后的 e₂原始网格
虚线：原始单位正方形 · 橙色：变换后的平行四边形
THE CALCULATION
ad − bc交叉相乘，再相减。
det(A) =2 × 2 − 1 × 1= 3
主对角线两项的乘积，减去另一条对角线两项的乘积。交换两列，结果的符号会翻转。
为什么大矩阵通常不用这种方法？
这里的 2 × 2、3 × 3 是固定尺寸，直接计算很清楚。递归余子式展开推广到 n × n 后，计算量按阶乘级增长。实际数值计算常用带选主元的高斯消元，时间复杂度 O(n³)；行交换会改变行列式符号。本页使用余子式展开，未运行高斯消元。
0 不是一个普通的结果。
当 det(A) = 0，矩阵无法恢复所有原始信息，也就没有逆矩阵。试着把两列改成相同的数字，看面积如何消失。很小的非零数使用科学计数法；浮点计算仍可能有舍入误差。